8. razred
Naloga 1. Dokažite, da so med katerimikoli 6 osebami vsaj trije znanci oziroma trije neznanci. © Ramseyeva naloga (Trije so znanci, če vsak od njih pozna vsakega.)
Naloga 2. Ali je mogoče v celoti tlakovati kvadrat 6x6 s pravokotniki 1x4? (Tlakovati pomeni razporediti pravokotnike 1x4 znotraj kvadrata 6x6 tako, da se pravokotniki stikajo z robovi brez vrzeli hkrati pa se tudi ne prekrivajo.)
Naloga 3. V kraljestvu Neverhood je podjetje za elektroniko, ki ga sestavlja 10 trgovin. Direktor se je odločil razširiti mrežo in je naročil svojemu pomočniku, naj izvede reformo, ki bi odprla več trgovin. V skladu s pravili pa se lahko nove trgovine odprejo le tako, da se že obstoječa trgovina razdeli na 4 nove. Čez nekaj časa je pomočnik sporočil, da v kraljestvu deluje 2019 trgovin. Direktor je ugotovil, da je pomočnik kršil pravila ali pa se je zmotil pri štetju trgovin. Kako je prišel do tega?
Naloga 4. 20 profesorjev Glavne univerze kraljestva Neverhood ima brado. Ostali – ne. 40 profesorjev ima brke. Ostali – ne. 10 profesorjev ima brado in brke. Katero je najmanjše možno število profesorjev Glavne univerze kraljestva?
Naloga 5. V kraljestvu Neverhood je devet mest, vsako je s cesto povezano z vsakim od preostalih mest. Koliko cest je v kraljestvu?
Naloga 6. V kraljestvu Neverhood je meniški red, katerega člani živijo v zaprti skupnosti. Pravila skupnosti so zelo stroga: menihi živijo ločeno, ne komunicirajo med seboj na noben način in v nobenem primeru ne smejo videti svojega odseva niti v ogledalu (ki ga nimajo) niti v vodi niti nikjer. Drug drugega lahko vidijo le enkrat na dan v času skupnega kosila, vendar je tudi takrat komunikacija med njimi strogo prepovedana. Vsak menih ve, da vsi člani skupnosti izjemno obvladajo logično razmišljanje. Poleg tega je vsak menih znan kot oseba, ki strogo spoštuje pravila skupnosti in jih v nobenem primeru ne krši. Včasih v skupnost pride opat, ki ima poseben položaj: dovoljeno mu je govoriti, da po kosilu pove novice.
Nekoć je opat prišel med kosilom in rekel: »Nekateri od vas ste že dosegli tako visoko stopnjo, da morate zapustiti red, da bi se kultivirali med mojstri v drugi skupnosti. Ljudje, ki so dosegli to raven, imajo zdaj na čelu madež v obliki kovanca. Ko tisti od vas, ki je označen z tem znakom, to ugotovi, mora tistega dne zvečer zapustiti red.«
Po govoru je opat odšel. Vendar ni rekel, koliko ljudi ima ta znak, menihi pa ne vidijo svojih odsevov.
Po kolikih dneh, če štejemo tudi ta dan, bodo vsi označeni z madežem zapustili skupnost, če vemo, da jih je n?
Naloga 7. Na spodnji sliki je prikazana ravninska mreža (plašč) tetraedra.
Navedite primer druge ravninske mreže tetraedra.
Naloga 8. Na sliki je prikazan lik, ki so ga zložili iz vžigalic.
Premaknite le 4 vžigalice tako, da boste na koncu dobili 15 kvadratov (ne sme biti nobenih odvečnih vžigalic).
Naloga 9. Na otoku živijo le vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode vedno lažejo. Nekoč je popotnik srečal štiri otočane in vprašal vsakega od njih: »Kdo ste vi?«
1. je odgovoril: »Vsi smo oprode.«
2. je odgovoril: »Med nami je ena oproda.«
3. je odgovoril: »Med nami sta dve oprodi.«
4. je odgovoril: »Nikoli nisem lagal in zdaj ne lažem.«
Popotnik je hitro ugotovil, kdo je četrti otočan. Kako je to naredil?
