8 класс
Задача 1. Докажите, что среди любых 6 человек всегда найдутся либо минимум трое знакомых, либо минимум трое незнакомых друг другу людей. © Задача Рамсея
Задача 2. Можно ли квадрат 6х6 клеток замостить прямоугольниками 1х4 клетки?
Задача 3. В королевстве Neverhood работает крупная торговая сеть по продаже товаров электроники, в наличии у которой было всего 10 магазинов. Директор решил расширить сеть и поручил своему помощнику открыть как можно больше новых магазинов. В соответствии с правилами компании новые магазины можно открыть только путём деления уже существующего магазина на 4 новых. Через некоторое время помощник доложил директору, что в королевстве уже действует 2019 магазинов. Директор догадался, что либо помощник нарушил правила компании, либо ошибся при подсчёте магазинов. Как он это понял?
Задача 4. У 20 профессоров Главного университета королевства Neverhood есть борода. У остальных — нет. У 40 профессоров есть усы. У остальных — нет. У 10 профессоров есть и борода, и усы. Каково наименьшее возможное количество профессоров в Главном университете королевства?
Задача 5. В королевстве Neverhood 9 городов, и каждый соединён дорогой с каждым из оставшихся городов. Сколько дорог в королевстве?
Задача 6. В королевстве Neverhood действует монашеский орден, все члены которого живут в закрытой общине. Правила общины очень строгие: монахи живут обособленно, не общаются друг с другом никоим образом, а также ни при каких обстоятельствах не имеют права видеть своё отражение. Видеть друг друга они могут только 1 раз в сутки в часы совместной трапезы, но и тогда общение между ними категорически запрещено. Между тем, каждый монах знает, что у всех членов общины в совершенстве развито логическое мышление. Кроме того, про каждого монаха известно, что это человек, строго соблюдающий правила общины и не нарушающий их ни при каких обстоятельствах. Иногда в общину приходит настоятель, который находится на особом положении: ему разрешено говорить, чтобы всем за трапезой сообщать известия.
Вот, как-то раз, настоятель пришёл во время трапезы и произнёс: «Кое-кто из вас достиг уже такого высокого уровня, что должен покинуть общину, чтобы заняться совершенствованием среди мастеров, в другой общине. У людей, достигших этого уровня, появляется родимое пятно в форме монеты на лбу. Как только те из вас, кто отмечен родимым пятном, смогут это понять, они должны сразу же после трапезы покинуть общину.»
Произнеся речь, настоятель удалился. Однако он не сказал, сколько человек отмечены родимым пятном. А отражения своего монахи видеть не могут.
Через сколько трапез, считая трапезу в день известия, все отмеченные родимым пятном покинут общину, если их n человек?
Задача 7. На рисунке ниже приведена развёртка тетраэдра.
Приведите пример другой развёртки тетраэдра.
Задача 8. На рисунке ниже изображена картинка, составленная из спичек.
Переложите 4 спички так, чтобы получилось ровно 15 квадратов. (Лишних спичек быть не должно.)
Задача 9. Путешественник попал на остров рыцарей и лжецов. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Когда путешественник встретил четырех людей — жителей этого острова — он задал им вопрос:"Кто вы?" - и получил такие ответы:
1-й: «Все мы лжецы.»
2-й: «Среди нас один лжец.»
3-й: «Среди нас два лжеца.»
4-й: «Лично я всегда говорю только правду.»
Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он догадался?
