7. razred
Naloga 1. Na krožnici se nahaja 15 žogic, vsaka od katerih je pobarvana z eno od dveh možnih barv: belo ali črno. Dokažite, da sta vsaj dve sosednji žogici iste barve.
Naloga 2. Ali je mogoče razrezati šestkotno torto (glej sliko) na 23 enakih kosov vzdolž črt?
Naloga 3. Zapisana so bila vsa naravna števila od 1 do 1000 v naslednjem vrstnem redu: najprej so bila zapisana v naraščajočem vrstnem redu števila, katerih vsota števk je enaka 1, nato (isto v naraščajočem vrstnem redu) števila, katerih vsota števk je enaka 2, nato števila, katerih vsota števk je enaka 3, in tako naprej. Na katerem mestu je število 996?
Naloga 4. Lubenico smo razdelili na 4 dele in s tem dobili 5 kosov lupine. Kako je to mogoče?
Naloga 5. Po sedmih pranjih so se dolžina, širina in višina kosa mila (glej sliko) dvakrat zmanjšale. Koliko takih pranj lahko še opravimo s preostalim kosom?
Naloga 6. V kraljestvu Neverhood se je kralj odločil za recertifikacijo članov sveta modrecev svojega kraljestva. Vsi člani so bili povabljeni, in ko so prišli, jim je kralj povedal:
»Jutri ob 9. uri boste imeli izpit. Najprej morate vstati v vrsto drug za drugim. Potem bodo moji pomočniki oblekli na vsakega klobuk bele ali črne barve tako, da bo vsak od vas lahko videl klobuke tistih, ki stojijo pred njim, vendar ne bo videl svojega klobuka in se tudi ne bo smel obračati, da bi videl klobuke tistih, ki stojijo za njim. Ves čas morate biti tiho, ne da bi dali kakršnega koli znaka drugim. Vsak od vas bo lahko rekel le eno besedo: »beli« oziroma »črni«, ki bo pomenila barvo klobuka, ki ga ima na glavi ta modrec. Če bo na koncu več kot en napačen odgovor, bom razpustil svet modrecev. Toda en napačen odgovor je povsem zadovoljiv in v tem primeru bodo vsi modreci lahko še naprej služili v mojem kraljestvu.«
Kako se lahko modreci vnaprej dogovorijo, da bodo opravili recertifikacijo, torej da ne bodo dali več kot enega napačnega odgovora?
Naloga 7. Izberite kocko (glej sliko 2), ki ustreza ravninski mreži (plašču) (glej sliko 1).
Slika 1. Slika 2.
Naloga 8. Na sliki je prikazan izraz iz seštevanja z rimskimi števili, ki so ga zložili iz vžigalic.
Toda ta izraz je napačen. Premaknite eno vžigalico tako, da bo izraz pravilen.
Naloga 9. Nekoč je nekdo na stopnicah našel čuden zvezek. Vseboval je sto izjav:
»V tem zvezku je točno ena napačna izjava«
»V tem zvezku sta točno dve napačni izjavi«
»V tem zvezku so točno tri napačne izjave«
…
»V tem zvezku je točno sto napačnih izjav«
Katere izjave so resnične?
