Задача 1. По кругу лежит 15 шариков двух цветов. Докажите, что найдётся 2 соседних шарика одного цвета.
Предположим, что нет двух соседних шариков одного цвета. Тогда цвета шариков должны чередоваться. Выстроим эти шарики в линейку, не меняя очерёдности цветов (разомкнём круг и выстроим в линию шарики). Если количество шариков чётно, то первый и последний шарики будут разных цветов. В нашем случае количество шариков нечётно, значит, последний шарик в линии при чередовании двух цветов будет того же цвета, что и первый. Но в этом случае, если снова замкнуть шарики в круг, первый и последний шарики окажутся рядом и чередование цветов нарушится. Вывод: невозможно выстроить 15 шариков двух цветов в круг так, чтобы не нашлось двух соседних шариков одного цвета.
Задача 2. Можно ли шестиугольный торт (см. рисунок) разрезать на 23 равных куска по указанным линиям?
Нет
Раскрасим поля так, как показано на рисунке.
Каждый из 23 кусков будет состоять из 1 чёрного и 1 белого треугольника (поскольку любые 2 соседних треугольника разных цветов). Но на картинке получился всего 21 чёрный треугольник и 25 белых. Значит, по указанным линиям торт разделить на 23 равных куска невозможно.
Задача 3. Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала в порядке возрастания выписали числа, сумма цифр которых равна 1, затем (также в порядке возрастания) — числа, сумма цифр которых равна 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д.. На каком месте оказалось число 996?
На 990-м месте
Проще всего посчитать, сколько всего чисел из 1000 записано после числа 996. Это число – самое большое из целых чисел от 1 до 1000, сумма цифр которых равна 24. После него записаны все целые числа в промежутке от 1 до 1000, сумма цифр которых равна 25, 26 и 27. Это числа (в убывающем порядке): 999; 998; 989; 899; 997; 988; 979; 898; 889; 799 – всего 10 чисел. Значит, число 996 стоит на 1000-10=990-м месте.
Задача 4. Арбуз разделили на 4 части. Получилось 5 корок. Могло ли такое произойти?
Могло, если одна из частей имела 2 корки (см. рисунок)
Задача 5. После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла (см. рисунок) уменьшилась вдвое. На сколько таких стирок хватит оставшегося куска?
На 1 стирку
Задача 6. В королевстве Neverhood король решил устроить переаттестацию мудрецов. Он собрал всех придворных мудрецов в тронном зале и объявил следующее:
«Завтра в 9 часов утра вас ждёт испытание. Вы должны будете выстроиться в ряд так, чтобы каждый мог видеть всех, стоящих впереди него. Однако ни один из вас не имеет права оборачиваться, чтобы увидеть стоящих сзади. Мои помощники каждому завяжут глаза и наденут на его голову либо чёрный, либо белый колпак, после чего глаза развяжут. Тогда вы по очереди должны назвать вслух цвет своего колпака. Если будет больше одного неверного ответа, мне придётся распустить совет мудрецов. Но один неверный ответ меня вполне устроит, и все мудрецы в этом случае смогут продолжать служить при дворе. Но помните, что цвет колпака - это единственное слово, которое вам разрешается произносить. И ни запиской, ни жестом нельзя передавать друг другу информацию!»
Как мудрецам заранее договориться, чтобы пройти переаттестацию, дав не более одного неверного ответа?
Поскольку надо выбирать из колпаков только 2 цветов, достаточно руководствоваться чётностью количества колпаков любого из цветов. Пусть, например, мудрецы договорятся считать чётность чёрных колпаков. Первым даёт ответ мудрец, стоящий позади всех и способный рассмотреть цвета всех колпаков, кроме своего. Если он видит чётное количество чёрных колпаков, он произносит слово «Чёрный», в противном случае, произносит слово «Белый». Впереди стоящий получает таким образом информацию о том, чётное или нечётное количество чёрных колпаков видит мудрец, стоящий позади, и, сопоставив её со своими наблюдениями, может безошибочно определить цвет своего колпака, одновременно передав впереди стоящему дополнительную информацию. Каждый мудрец должен внимательно слушать все предыдущие ответы, и тогда все смогут безошибочно назвать цвет своего колпака, кроме первого мудреца. Итог: только первый мудрец, возможно, назовёт цвет, отличный от цвета колпака, что на нём надет.
Задача 7. Выберите кубик (см. Рисунок 2), соответствующий развёртке (см. Рисунок 1).
Рисунок 1. Рисунок 2.
в
Задача 8. На картинке изображено равенство, составленное из спичек с использованием римских цифр (см. рисунок).
Однако, равенство не верно. Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.
Задача 9. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждение»
«В этой тетради ровно два неверных утверждения»
«В этой тетради ровно три неверных утверждения»
…
«В этой тетради ровно сто неверных утверждений»
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
Ровно одно утверждение верно:
«В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений».
