Задача 1. Верно ли, что из 100 натуральных чисел всегда можно найти 15 таких, разность любых двух из которых делится на 7?
Да
Разность любых двух натуральных чисел всегда натуральное число или 0. Если у двух различных чисел остатки от деления на 7 совпадают, то разность этих двух чисел делится на 7. При делении натурального числа на 7 возможно получить один из 7 остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит, среди любых 14*7+1=99 натуральных чисел всегда найдётся 15 таких, разность любых двух из которых делится на 7 (остатки от деления на 7 у которых совпадают).
Задача 2. Треугольник разбит на 25 маленьких треугольничков (см. рисунок).
Божья коровка ходит по всему полю, переходя только между соседними по стороне треугольничками (то есть, не ходит по диагонали). Какое максимальное количество треугольничков может пройти божья коровка, побывав в каждом не более одного раза? Докажите, что найденное число является максимальным.
21
Раскрасим треугольнички в шахматном порядке (см. рисунок).
Божья коровка может переходить с чёрного треугольничка только на белый, а с белого только на чёрный, поскольку соседние по сторонам треугольнички раскрашены в разные цвета. Значит, чёрные и белые треугольнички в её маршруте должны чередоваться, и общее количество пройденных чёрных и белых треугольничков может различаться не более, чем на 1 (если закончить маршрут на поле того же цвета, что и первое поле в маршруте, полей этого цвета будет на 1 больше, чем другого цвета). На картинке 15 чёрных и 10 белых треугольничков. Значит, если божья коровка начнёт и закончит маршрут чёрными треугольничками, она сможет пройти 11 чёрных и 10 белых треугольничков, то есть, в сумме 21 треугольничек. Больше пройти не получится, поскольку не останется белых треугольничков, на которых божья коровка ещё не побывала.
Задача 3. На доске написаны числа по порядку от 1 до 1999 (1, 2, …, 1999). За один ход разрешается стереть любое количество чисел и вместо них написать остаток от деления их суммы на 11. Через несколько ходов на доске осталось 2 числа, одно из которых 1000. Какое второе число?
4
Найдём сумму всех чисел от 1 до 1999. Это (1+1999)*(1999)/2 = 1 999 000.
После каждого хода сумма уменьшается на 11m, где m — целая часть частного от деления суммы стёртых чисел на 11. (Вместо (a+b+...+n)=11m+k на доске появляется число k, равное остатку от деления суммы стёртых чисел на 11.)
В результате на доске должно остаться число, равное остатку от деления общей суммы чисел на 11 (все составляющие общей суммы, кратные 11, сокращаются).
Поскольку по условию одно из оставшихся чисел 1000, а оно не может быть остатком от деления на 11, второе число является остатком от деления общей суммы чисел, за вычетом 1000, на 11, то есть, остатком от деления на 11 числа 1 999 000 — 1 000 = 1 998 000.
1 998 000 при делении на 11 даёт остаток 4. Следовательно, вторым оставшимся числом является число 4.
Задача 4. На заводе работают 40 фрезеровщиков, каждый из которых является художником, философом или поэтом. Всего среди них 28 художников, 27 философов и 11 поэтов. Какое наибольшее количество фрезеровщиков могут являться одновременно и художниками, и философами?
26 фрезеровщиков
Задача 5. Сколько нулей на конце числа 100! ?
(Запись n! - это факториал числа n, то есть, произведение всех натуральных чисел до n включительно.)
24
Сосчитаем количество чисел, кратных 5. Каждое из этих чисел при умножении на чётное число (которых в избытке) даёт произведение, кратное 10, то есть, 0 на конце результата. В данном случае, получается 20 чисел, кратных 5, из которых 4 числа кратны 25 (то есть, имеют ещё одну пятёрку в сомножителях, что даёт дополнительный 0 при умножении на числа, кратные 4). Таким образом, получается 20+4=24 нуля на конце числа 100! .
Задача 6. В Тридевятом царстве у Кощея есть тюрьма. Там содержатся 5 узников в 5 камерах. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она лишь один раз напишет некоторое число (от 1 до 5). Кощей тем временем запишет номера камер, в которых сидят узники, по старшинству узников: начиная от номера камеры старшего узника и заканчивая младшим. Таким образом будет записано пятизначное число. Поскольку на момент начала эксперимента старший узник сидел в камере 1, второй по старшинству — в камере 2, третий — в камере 3, четвёртый — в камере 4 и самый младший — в камере 5, Кощей запишет число 12345.
Ровно в полдень следующего дня каждый из узников будет переведен в камеру в соответствии с номером, написанным на стене прежней камеры, а Кощей составит новое пятизначное число описанным выше способом. На следующий день каждый узник снова будет переведён в другую камеру в соответствии с номером, написанным на стене, а Кощей запишет ещё одно пятизначное число. Так узники будут меняться камерами 5 дней, а Кощей запишет 6 пятизначных чисел (включая число 12345), и если среди этих чисел не найдётся ни одной пары одинаковых, узников отпустят на свободу, а Василисе дадут звание Премудрой.
Помогите Василисе написать числа на стенах 5 камер.
Задача 7. Синим контуром на рисунке обведены видимые грани куба, если смотреть справа сверху (см. Рисунок 1).
Рисунок 1. Рисунок 2.
Обведите видимые грани остальных кубов так, чтобы куб был виден
а) справа снизу;
б) слева сверху;
в) слева снизу.
а)
b)
c)
Задача 8. И «бокал», и «рюмка» (см. рисунок) составлены из 4 спичек. Внутри каждого из них - «вишенка». Переложите по 2 спички в каждом из «сосудов», чтобы «вишенки» оказались снаружи. (Лишних спичек быть не должно.)
Задача 9. За столом по кругу сидят 12 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый из сидящих за столом произнёс такую фразу: «Все, кто здесь сидит, кроме, быть может, меня и моих соседей, лжецы.»
Сколько рыцарей сидит за столом?
2 рыцаря
Во-первых, определим однозначно, что означает произнесённая фраза. А означает она следующее: «Неизвестно, являюсь ли я и мои соседи лжецами или рыцарями, но остальные 9 человек — лжецы.»
Если все сидящие за столом — лжецы, значит, каждый из них сказал правду (противоречие). Следовательно, есть по крайней мере один рыцарь. Значит, 9 человек точно лжецы. Если оба соседа рыцаря тоже являются рыцарями, то каждый из них солгал, ведь они не являются соседями друг другу и, таким образом, назвали друг друга лжецами (противоречие). Если оба соседа — лжецы, тогда каждый из них сказал правду, назвав всех, кто не является его соседом, лжецами (противоречие). Значит, один из соседей рыцаря — лжец, а другой — рыцарь. Тогда оба рыцаря, сидящие рядом, сказали правду, а все остальные назвали как минимум одного из этих рыцарей лжецом (соответствие условиям задачи).
