6 класс
Задача 1. В коробке лежит 7 чёрных, 5 белых и 1 синий шарик. Какое минимальное число шариков нужно вынуть, не глядя, из коробки, чтобы наверняка достать 2 шарика одного цвета?
Задача 2. Имеется шахматная доска (8х8 клеток) с двумя вырезанными углами, расположенными по диагонали друг от друга (см. рисунок).
Может ли шахматный конь обойти такую доску, побывав на каждой клетке ровно 1 раз?
Шахматный конь ходит по диагонали прямоугольника 2x3 (см. рисунок ниже).
Задача 3. В стакане находится 1 бактерия. Через 1 секунду она делится, образуя вместо себя 2 бактерии. Далее каждую секунду количество бактерий в стакане удваивается. Ровно через 60 секунд весь стакан заполняется бактериями. Через какое время бактерии заполнили бы стакан, если бы в него сразу поместили 4 бактерии?
Задача 4. Разрежьте фигуру на 2 конгруэнтные (то есть, совпадающие при наложении друг на друга) части (фигура и её зеркальное отображение также считаются конгруэнтными фигурами).
Задача 5. Площадь прямоугольника равна 20 см² (см. рисунок). Найдите площадь закрашенной части прямоугольника.
Задача 6. В Тридевятом царстве есть 10 источников с мертвой водой. Каждый может набрать воды из первых 9 источников, а 10 источник спрятан во дворце Кощея. На вкус, цвет и по запаху мертвая вода не отличается от обычной. Выжить после нее можно, лишь запив ядом из источника, номер которого больше.
Иван-царевич вызвал Кощея на дуэль с условием, что каждый принесет кружку с водой и даст выпить ее противнику. Кощей обрадовался: «Я дам царевичу яд №10, спрятанный в моём дворце, и Иван умрет, потому что более мощного противоядия нет! А сам выпью яд, который принесет мне Иван, запью его своим десятым и спасусь!» В назначенный день противники обменялись кружками и выпили то, что в них было. Однако оказалось, что Кощей умер, а Иван-царевич выжил.
Как удалось Иванушке победить Кощея?
Задача 7. Выберите фигуры, которые могут являться развёрткой куба (см. рисунок).
Задача 8. На картинке из спичек выложены квадраты (см. рисунок). Уберите 8 спичек так, чтобы осталось 2 квадрата. (Лишних спичек быть не должно.)
Задача 9. На острове живут только рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.
Как-то раз путник встретил троих островитян и спросил у каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни одного». Второй ответил: «Один». Что ответил третий?
